Закон распределения



Скачать 166.49 Kb.
страница1/3
Дата10.07.2018
Размер166.49 Kb.
ТипЗакон
  1   2   3

Основные законы распределения случайных величин

1. Биномиальный закон распределения

Вернемся к схеме независимых испытаний и найдем закон распределения случайной величины Х – числа появлений события А в серии из п испытаний. Возможные значения А: 0, 1, …, п.



Биномиальным законом распределения называется распределение вероятностей дискретной случайной величины X = k - числа появлений события в n независимых испытаниях, описываемое формулой Бернулли:

Ряд распределения биномиального закона имеет вид





0

1



K



n















Пример 1. Составим ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.

Решение.

р(Х=0) = 1·(0,2)5 = 0,00032;

р(Х=1) = 5·0,8·(0,2)4 = 0,0064;

р(Х=2) = 10·(0,8)2·(0,2)3 = 0,0512;

р(Х=3) = 10·(0,8)3·(0,2)2 = 0,2048;

р(Х=4) = 5·(0,8)4·0,2 = 0,4096;

р(Х=5) = 1·(0,8)5 = 0,32768.

Таким образом, ряд распределения имеет вид:



х

0

1

2

3

4

5

р

0,00032

0,0064

0,0512

0,2048

0,4096

0,32728

Справедливы теоремы:

1. При биномиальном распределении математическое ожидание (среднее значение) числа появлений события равно произведению числа испытаний на вероятность p появления события в одном испытании M(X) = np, а дисперсия равна D(X) = npq.

2. Наивероятнейшее число появлений события в n независимых испытаниях (такое число k, которое при данном n имеет наиболь­шую вероятность ) удовлетворяет двойному неравенству

np - q < k < np + p .

Если (np – q) - дробное число, то существует единственное значение k*,

если (np – q) - целое число, то k* может принимать два значения.

Пример 2. Произведено 6 выстрелов по цели. Вероятность промаха при каждом выстреле одинакова и равна 0,4. Найти наивероятнейшее число попаданий и его вероятность; вероятность разрушения цели, если для этого требуется не менее двух попаданий.

Решение. Каждый выстрел можно рассматривать как отдельное независимое испытание. Поэтому применима схема повторяющихся не­зависимых испытаний. По условию n = 6, p = 0,6; q = 0,4. Поэтому np - q = 3,2; np + p = 4,2. Следовательно, k = 4.

Вероятность 4-x попаданий равна

Пусть A - событие, состоящее в том, что будет не менее двух попаданий при 6 выстрелах. Удобно перейти к противоположно­му ему событию - менее двух попаданий (либо 0 – событие , либо 1 - событие ).

Очевидно, .

Так как события и несовместны, то или

Искомая вероятность

Для дискретной случайной величины Х, представляющей собой число появлений события А в серии из п независимых испытаний, М(Х) можно найти, используя свойство 4 математического ожидания. Пусть Х1 – число появлений А в первом испытании, Х2 – во втором и т.д. При этом каждая из случайных величин Хi задается рядом распределения вида


Xi

0

1

pi

q

p

Следовательно, М(Хi) = p. Тогда

Аналогичным образом вычислим дисперсию: D(Xi) = 0²·q + 1²·p – p²= p – p² = p(1 – p), откуда по свойству 4 дисперсии



2. Закон распределения Пуассона

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую только целые неотрицательные значения (0, 1, 2,…, т,…), последовательность которых не ограничена.

В предельном случае биномиального распределения, когда число испытаний n очень велико, а вероятность появления события в каждом отдельном испытании очень мала, вероятность появления события k раз в n независимых испытаниях может быть определена по приближенной формуле

,

где - среднее число появлений события в различных сериях испытаний, предполагаемое постоянным.

Эта формула выражает закон распределения вероятностей диск­ретной случайной величины k - числа появлений события в n неза­висимых испытаниях (в случае массовых, но редких событий ), на­зываемый законом распределения Пуассона.

Замечание. Практически формулой Пуассона с достаточной сте­пенью точности можно пользоваться при p < 0,1; .

Замечание. Таким образом, обнаружено интересное свойство распределения Пуассона: математическое ожидание равно дисперсии (и равно единственному параметру , определяющему распределение).

3. Геометрическое распределение

Пусть производится ряд независимых испытаний (”попыток”) для достижения некоторого результата (события ), и при каждой попытке событие может появиться с вероятностью . Тогда число попыток до появления события , включая удавшуюся, - дискретная случайная величина, возможные значения которой 1,2… … . Вероятности их по теореме умножения вероятностей для независимых событий равны



где .

Вероятности образуют для ряда последовательных значений бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем (поэтому распределение называется геометрическим).

Ряд распределения имеет вид





1

2

3

….

M











….





Математическое ожидание и дисперсия равны

.

Пример 1. Производится ряд попыток включить двигатель. Каждая занимает время и заканчивается успешно независимо от других с вероятностью . Построить ряд распределения общего времени , которое потребуется для включения двигателя, найти его математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Число попыток - дискретная случайная величина с возможными значениями Поэтому общее время - тоже случайная величина, подчиненная геометрическому закону распределения, и ее ряд распределения будет иметь вид





























По свойствам математического ожидания и дисперсии

,

.

Пример 2. Имеется лампочек; каждая из них с вероятностью имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток; при этом дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется новой. Построить ряд распределения числа лампочек , которое будет испробовано и найти вероятность того, что свет появится при третьем включении.

Решение. По условию Ряд распределения будет



1

2

3

























.

4. Закон равномерного распределения вероятностей

Часто на практике мы имеем дело со случайными величинами, распределенными определенным типовым образом, то есть такими, закон распределения которых имеет некоторую стандартную форму. Были рассмотрены примеры таких законов распределения для дискретных случайных величин (биномиальный и Пуассона). Для непрерывных случайных величин тоже существуют часто встречающиеся виды закона распределения, и в качестве первого из них рассмотрим равномерный закон.

Закон распределения непрерывной случайной величины называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение ( f(x) = const при a ≤ x ≤ b, f(x) = 0 при x < a, x > b.

Непрерывная случайная величина Х подчинена закону равномерного распределения вероятностей, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения Х , плотность вероятностей постоянна и равна



а функции распределения F(x):

График плотности вероятностей равномерно распределенной случайной величины Х и ее функции распределения F(x) показан на рисунке.

Обычно вместо параметров a и b используют математическое ожидание Х и половину ширины области возможных значений случайной величины.

Очевидно,

Дисперсия закона равномерного распределения .



Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал , принадлежащий , равна

.

Пример. Автобусы некоторого маршрута идут с интервалом 5 минут. Найти вероятность того, что пришедшему на остановку пассажиру придется ожидать автобуса не более 2 минут.

Решение. Время ожидания является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [0, 5]. Тогда

Для равномерно распределенной на отрезке [a, b] непрерывной случайной величины то есть математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины равно абсциссе середины отрезка [a, b] .

Дисперсия

.


Каталог: company -> personal -> user
user -> Лекция №4 по дисциплине «Управление ит-сервисами и контентом» Этапы разработки и продвижение Web-сайтов для студентов направления
user -> Лекция Фирма как субъект рыночной экономики
user -> Информационные системы в маркетинге Курс лекций
user -> Лекция по учебной дисциплине: «Программные продукты индустрии сферы услуг»
user -> Лекция 1 Основы и основные понятия корпорации и кис
user -> Вопросы к экзамену: Сервисология как наука
user -> Вопросы к экзамену по дисциплине «Реклама в скс и т»
user -> Вопросы к зачету по дисциплине «Реклама в скст»


Поделитесь с Вашими друзьями:
  1   2   3


База данных защищена авторским правом ©rekref.ru 2017
обратиться к администрации

    Главная страница